PONTES E VIADUTOS

Otimização de Longarinas Protendidas pelo Método Simplex

Aplicação do Método Simplex na determinação do domínio viável de soluções para longarinas protendidas de pontes rodoviárias.

Autor
Vinicius Moraes

Formação
MSc. Estruturas e Geotecnia – UNICAMP

Leitura
8 min

Publicado
Maio de 2026

Introdução

O dimensionamento de longarinas protendidas para pontes rodoviárias normalmente envolve diversas tentativas até encontrar uma solução estrutural adequada. A escolha da altura da viga, da força de protensão e da geometria da seção influencia diretamente o custo, o desempenho estrutural e a viabilidade construtiva da ponte.

Com o avanço das ferramentas computacionais, tornou-se possível automatizar parte desse processo utilizando modelagem paramétrica, algoritmos de otimização e rotinas de cálculo integradas.

Durante minha pesquisa de mestrado na UNICAMP, desenvolvi uma metodologia para otimização de longarinas protendidas utilizando o Método Simplex aplicado às verificações de estados limites em concreto protendido.

Definição do domínio viável da protensão

A metodologia proposta considera que a força de protensão deve satisfazer simultaneamente diferentes restrições estruturais associadas aos estados limites de serviço e estado limite último.

As equações foram obtidas considerando três condições principais:

Ato da protensão;
Solicitações quase permanentes;
Solicitações frequentes.

Figura 1 — Diagrama de tensões no ato da protensão.

Figura 2 — Diagrama de tensões para solicitação quase permanente.

Figura 3 — Diagrama de tensões para solicitação frequente.

Limites superiores no ato da protensão

Os limites superiores foram obtidos a partir das restrições de tração e compressão da seção durante o ato da protensão.

Equações dos limites superiores — Figura 4 — Equações utilizadas na definição dos limites superiores da protensão.

Limites inferiores em serviço

Os limites inferiores foram definidos considerando os estados limites de serviço da estrutura, incluindo descompressão, formação de fissuras e compressão excessiva.

Equações dos limites inferiores — Figura 5 — Equações utilizadas na definição dos limites inferiores da protensão.

Domínio viável de soluções

A interseção entre os limites superiores e inferiores define o domínio viável da força de protensão para cada geometria analisada.

Algumas das restrições são formuladas em função da força de protensão efetiva Pinf. Entretanto, para viabilizar a construção do gráfico resultante do Método Simplex, torna-se necessário determinar a força de protensão inicial Pi.

Relação entre força inicial e força efetiva de protensão — Figura 6 — Relação entre a força de protensão inicial e a força efetiva após perdas.

A estimativa das perdas de protensão depende da geometria da seção transversal, das propriedades dos materiais, da força inicialmente aplicada e das condições ambientais. Como essas perdas influenciam o valor final da protensão efetiva, sua determinação é realizada por meio de um processo iterativo.

Fluxograma do processo iterativo — Figura 7 — Procedimento iterativo para cálculo das perdas de protensão.

Exemplo de aplicação

A metodologia foi aplicada em um estudo de otimização de longarinas protendidas desenvolvido durante a dissertação de mestrado do autor.

Premissas adotadas

Vão livre: 20 m
Largura do tabuleiro: 14,10 m
Concreto protendido: 30 MPa
Aço de protensão: CP190
Protensão limitada
Umidade relativa: 80%
Slump: 8 cm
Temperatura ambiente: 22 °C
Perda por acomodação da ancoragem: 4 mm
Coeficiente de atrito: 0,20
Carga móvel: TB-450

A partir dessas premissas, o problema estrutural passa a possuir duas variáveis principais de otimização: a altura da longarina h e a força de protensão inicial Pi.

Modelo da longarina protendida — Figura 8 — Modelo utilizado no estudo de otimização.

Construção do domínio viável

Para aplicação do Método Simplex, foram analisadas longarinas com alturas variando de 105 cm até 190 cm, com incrementos de 5 cm.

Para cada valor de altura h, foram calculados os limites de protensão associados às equações apresentadas anteriormente.

Domínio viável pelo Método Simplex — Figura 9 — Domínio viável de soluções obtido pelo Método Simplex.

Interpretação do gráfico

A região destacada em cinza representa o domínio viável de soluções estruturais. Qualquer ponto localizado dentro dessa região atende simultaneamente aos critérios de tensão, fissuração, deformação e compressão estabelecidos para a estrutura.

O vértice inferior do domínio viável representa a solução de maior eficiência estrutural, correspondendo à menor altura de longarina capaz de satisfazer simultaneamente todas as verificações normativas. A partir dessa altura, a armadura ativa é dimensionada para a força de protensão correspondente ao ponto ótimo identificado.

Referências

BUTTIGNOL, T. E. T.; MORAES, V. N. Parametric modeling for automated intelligent design of concrete beam bridges: A global and local optimization approach. Structural Concrete, fib/Wiley, 2025. Disponível em: https://doi.org/10.1002/suco.70247

MORAES, Vinicius Nascimento de. Otimização de Pontes Protendidas: Modelagem Paramétrica e Aplicação do Método Simplex para Soluções Locais de Longarinas. Dissertação de Mestrado — UNICAMP, Campinas, 2024.